Die euklidische Ebene und ihre Verwandten by Heinz Lüneburg

By Heinz Lüneburg

Unter Verzicht auf alles Räumliche wird hier die ebene euklidische Geometrie aufgebaut, indem mit der Untersuchung von beliebigen projektiven und affinen Ebenen begonnen, dann aber sehr rasch zu Ebenen übergegangen wird, die von kommutativen Körpern koordinatisiert werden. In affinen Ebenen wird die Mittelpunktsrelation studiert, die erstaunliche Konsequenzen hat, sowie Orthogonalitätsrelationen und das Winkelhalbieren. Ist das Winkelhalbieren immer möglich, so trägt der Koordinatenkörper eineAnordnung, so dass guy schon sehr nahe bei der euklidischen Ebene ist. Kegelschnitte werden ebenfalls gründlich untersucht. Sind Gerade durch innere Punkte stets Sekanten, so impliziert dies ebenfalls die Anordenbarkeit des Koordinatenkörpers und noch mehr, so dass auch dieses uns in die Nähe der Ebene über den reellen Zahlen bringt. Zum Schluss, im siebten Kapitel, wird dann gezeigt, welche geometrischen Eigenschaften dazu dienen können, die reelle Ebene unter allen übrigen affinen Ebenen auszuzeichnen.

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Es sei (g, P) ein Punkt-Geradenpaar von II d • Dann ist (P, g) ein PunktGeradenpaar von II. Weil in II das desarguessche (P, g)-Postulat gilt, ist II nach 28 1. Projektive und affine Ebenen dem soeben bewiesenen Satz (P, 9)-transitiv. 4 ist rr d daher (g, P)-transitiv, erfüllt also wiederum nach dem Satz von Baer das desarguesche (g, P)-Postulat, q. e. d. 7 zeigt, daß man auf die Klasse der desarguesschen projektiven Ebenen das Dualitätsprinzip anwenden kann, so daß in desarguesschen Ebenen insbesondere auch das desarguessche (P, g)d-Postulat gilt.

I 0 erhalten wir cp(u) + cp(v) = va + hcp(v)a cp(u + v). Ferner folgt = v'Ya = (va)'Y = va + hcp(va) und daher cp(v)a = cp(va), so daß cp eine lineare Abbildung von V in K ist. Schließlich gilt für alle 9 E G die Gleichung 9 = g'Y = 9 + hcp(g), so daß cp(g) = 0 ist für alle 9 E G. Dies besagt, daß Gin Kern(cp) enthalten ist. Nehmen wir schließlich noch 'Y -11 an, so folgt Kern(cp) -I V. Wegen RgK(G) = 2 und RgK(V) = 3 ist daher G = Kern(cp). Diese heuristischen Untersuchungen zeigen, daß die Abbildungen der Art v -+ v + hcp(v), wobei cp eine lineare Abbildung von V in Kund h E Kern(cp) ist, gute Kandidaten dafür sind, Elationen in II(V, K) zu induzieren.

Rg(U), q. e. d. Es sei V ein K-Rechtsvektorraum, V* sein Dualraum und V** der Dualraum von V*. Dann ist V** wieder ein Rechtsvektorraum über K. Für v E V definieren wir die Abbildung V U von V* in K durch fv u = fv für alle f E V*. Dann ist er bekanntlich ein Monomorphismus von V in V**. Hat V endlichen Rang, so hat V** den gleichen Rang wie V, so daß er in diesem Falle sogar ein Isomorphismus von V auf V** ist. Dies benötigen wir beim Beweis der nächsten Aussage. 8. Es sei V ein K-Rechtsvektorraum endlichen Ranges.

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